Очерки инженерной геометрии. Часть 1

Фото Юрия Буцкого

Вступление

Промышленность 4.0 шагнула в цеха, роботы, связанные информационными сетями с конструкторами и технологами, трудятся без участия людей, а напечатанная на 3D-принтере деталь никого не удивляет.

Но всегда ли мы помним о предыдущих достижениях гениев инженерной мысли? Золотое сечение в архитектуре, линейчатые поверхности башни Шухова, группы Ассура в кинематике механизмов, сплайны в проектировании судов и самолетов, тензоры в расчете деформаций – перечислять можно бесконечно.

Давайте признаем: без прежних открытий, изобретений, формул и расчетов не было бы сегодняшних инноваций. Они, инновации, стоят на плечах гигантов. И мы обязательно напишем об этом в последующих статьях. А сегодняшняя публикация посвящена классической геометрии в автомобиле.

Что же это за кривая?

Сколько лет прошло со дня создания роторно-поршневого двигателя (РПД), детища двух талантливых инженеров Феликса Ванкеля и Вальтера Фройде… А со времени зарождения идеи – еще больше. И все эти долгие десятилетия красивую и строгую линию эпитрохоиду упорно называют «сложной кривой», не пытаясь постичь ее суть.

Вот пара примеров. Статья «Семьдесят лет из жизни “Ванкеля”», «За рулем» № 2/1998. «Однако главную трудность представляет изготовление такого цилиндра: его основанием служит эпитрохоида – сложная геометрическая кривая. Понятно, реализовать это смогли лишь через несколько лет, когда развитие технологии позволило делать поверхности столь сложной формы».

Не оригинальна и статья «Линия жизни – эпитрохоида», «За рулем» № 7/2001. «В блоке цилиндров – статоре, внутренняя поверхность которого представляет сложную кривую – эпитрохоиду, вращается ротор».

И ни малейшей попытки разобраться и объяснить – что же в ней такого сложного, в эпитрохоиде?

Да, кривая непростая, но не настолько, чтобы восклицать «ужас, ужас». И мы это сейчас продемонстрируем. Как говорится, следите за руками.

Вооружимся проверенным методологическим приемом «от простого к сложному». Возьмем пару геометрических объектов – прямую и окружность. Кстати, прямую тоже можно считать окружностью с бесконечным радиусом (R = ∞). И начнем двигать один объект относительно другого. Здесь возможны три случая.

Случай первый. Циклоида

Берем прямую и катим по ней окружность – причем без скольжения. Иными словами, двигаем «R по ∞». Какую линию прочертит точка на окружности? Конечно, старую добрую циклоиду. Пример в автомобиле – траектория крайней точки на шине. Запомним и вернемся к нашим объектам.

Источник фото: https://www.look.com.ua

Окружность катится по прямой без скольжения («радиус по бесконечности»). Получается циклоида. Где она в автомобиле? Циклоиду описывает крайняя точка на протекторе шины

Случай второй. Эвольвента

Теперь возьмем прямую и начнем «катать» ее по окружности. Точнее – обкатывать этой прямой окружность, и обязательно без скольжения! Теперь мы двигаем «∞ по R». Кривая, которую описывает точка на прямой, называется эвольвентой окружности. Пример в автомобиле, да и вообще в технике – профиль зуба в зубчатом зацеплении.

Источник фото: ru.freepik.com

Прямая «катится» по окружности без скольжения – точнее, обкатывает ее («бесконечность по радиусу»). Получается эвольвента. В автомобиле это профиль зуба в редукторе

Случай третий. Эпитрохоида

И наконец, самый интересный вариант. Возьмем не прямую и окружность, а две окружности. То есть не «R и ∞», а пару «R и r». И начнем обкатывать окружность радиуса r другой окружностью – с радиусом R. Примерно так вращают обруч на талии.

В общем случае точка на подвижной окружности будет описывать эпициклоиду или гипоциклоиду – в зависимости от того, «кто по кому катится». И «где катится» – снаружи или внутри. Но так или иначе, это будет не «радиус по бесконечности» (как в случае циклоиды), и не «бесконечность по радиусу», (как в случае эвольвенты), а «радиус по радиусу»! Запомним и двинемся дальше.

Прикрепим к подвижной окружности стержень – жестко прикрепим. Неподвижно! Скажем так – приварим! Так вот, точка на этом стержне будет описывать кривую, называемую эпитрохоидой.

А теперь посмотрим на рисунок, где дан роторно-поршневой двигатель в разрезе. Окружность R катится по другой окружности радиуса r. А точка 1, жестко связанная с подвижной окружностью R, описывает эпитрохоиду. И точка 2 описывает эпитрохоиду, и точ­ка 3 тоже ее, родимую.

Рис. Татьяны Мошкалевой. Из архива Юрия Буцкого

Окружность катится по окружности («радиус R по радиусу r»). Точка, жестко связанная с окружностью R, описывает эпитрохоиду. Автомобильный пример – двигатель Ванкеля

Вот вам и автомобильное применение эпитрохоиды – профиль камеры сгорания двигателя Ванкеля. Гениальное инженерное решение на базе прекрасного знания геометрии.

На самом деле, все описанные линии – и классическая циклоида, и эпициклоида, и гипоциклоида, и эвольвента, и эпитрохоида – относятся к одному и тому же классу циклоидных кривых. И описываются, в общем-то, схожими уравнениями. Все дело лишь в том, «кто по кому катится»:

• окружность по прямой;
• прямая по окружности;
• или окружность по окружности.

Так что ничего сложного в эпитрохоиде нет. Как и в ее воспроизведении на станке с ЧПУ, по-английски CNC (Computer Numerical Control). Правда, с одной оговоркой. Раньше, когда такие станки оснащались линейно-круговыми интерполяторами, эпитрохоиду заменяли цепочкой дуг окружностей и отрезков прямых. В математике такая замена называется линейно-круговой аппроксимацией.

Точность аппроксимации определяла точность результата «в металле». Для приемлемой цифровой модели эпитрохоиды приходилось увеличивать число дуг, а это сказывалось на времени прохождения фрезы по контуру – оно существенно возрастало.

С появлением сплайн-интерполяции и микропроцессорного управления станками получение «хитроумных» контуров существенно упростилось. Но это уже совсем другая история. Как-нибудь в другой раз.