Очерки инженерной геометрии. Часть 2

Тест на виртуальность

Прогресс выглядит так заманчиво – наука и технологии могут всё, слава науке и технологиям!

Но за эйфорией не следует забывать, что само по себе ничего не происходит. Робот не может создать себе подобного, а более совершенного и подавно. А «программирование программирования» реализовано лишь на страницах научной фантастики. И убери из фундамента величественного здания Технического Прогресса человеческий опыт, что будет с тем зданием?

Быстро же мы позабыли фразу Исаака Ньютона: «Я видел дальше других только потому, что стоял на плечах гигантов». Вообразили, что все возникает само собой и непременно впервые. На самом деле любая инновация – это дитя классической науки. И зародиться она могла сотни лет назад, а реализоваться – в наши дни. Это справедливо даже для терминологии.

Виртуальность и современность

Хотите тест? Слово «виртуальный» – современное или нет? Что за вопрос, конечно, современное! До появления компьютеров и систем автоматизированного проектирования (САПР, по-английски CAD-system) о нем и знать не знали.

А вот и не угадали. Это понятие родилось из прочтения трудов Галилео Галилея! Вот книга «История естествознания» 1935 года издания. И на с. 60 сказано: «Особенно обязаны мы Галилею <…> за принцип виртуальных, т.е. возможных скоростей или перемещений».

И тут же рисунки, вошедшие в школьные учебники. Оказывается, виртуальная реальность появилась задолго до цифровых технологий!

Понятие виртуальной реальности ввел еще Галилео Галилей

Ну, это так, филологическое отступление. Чтобы нам, таким современным, не особо зазнаваться. А сейчас о другом. О том, что фундаментальные технические решения удивительно красивы и гармоничны.

Вот знаменитая башня Шухова. Новаторская для XX века гиперболоидная конструкция в виде несущей стальной сетчатой оболочки.

Поверхность – гиперболоид, а составлен из прямых линий. Поэтому гиперболоид так и называется – линейчатый. Кто не знает, тот не верит, а кто знает – удивляется, каркас-то действительно из прямых балок. А Музей науки в Лондоне поместил макет башни Шухова на почетное место, как пример величайшего достижения инженерной мысли.

Макет башни Шухова в Лондонском музее науки

Фото Юрия Буцкого

А теперь – об автомобиле

Точнее, об автомобильном кузове. Это не только самый большой и дорогой компонент автомобиля. Это раздолье для творчества. Есть где разгуляться и фантазии, и алгоритмам. Грамотно и со вкусом сделанный кузов – это средоточие гармоничных решений математики, информатики, физики. И воображения, разумеется.

В технике есть объекты классической геометрии, которые можно описать аналитическими уравнениями и довольно простыми формулами. Например, упомянутые линейчатые поверхности башни Шухова.

А есть линии и обводы, подвластные только численным методам. С их помощью на компьютере проектируют крыло Mercedes, к примеру. Или Jaguar. Эти поверхности не опишешь уравнениями плоскости, конуса, шара, тора или параболического гиперболоида. Здесь применяются сплайны, кривые Безье, порции поверхности по Кунсу. И мы наслаждаемся их результатами не меньше, чем плодами классической геометрии.

Не удивительно, что любуемся. Сплайны – это тоже природная гармония, особенно естественные кубические сплайны.

Изначально сплайн – это инструмент чертежника, когда компьютеров не было и в помине. Это гибкая металлическая линейка, закрепленная в нескольких точках. Она изгибается ровно настолько, чтобы минимизировать потенциальную энергию упругости – отсюда ощущение спокойствия и легкости. Давайте произнесем медленно: минимизация энергии упругости… Линии не надо больше распрямляться, между соседними точками она свободна!

Сплайн – это гибкая линейка, инструмент чертежника позапрошлого и прошлого веков. Сегодня сплайны описаны математически и входят в программное обеспечение САПР. На рисунке – естественный кубический сплайн, свободный и не напряженный

А можно изменить наклоны кривой в некоторых точках – «напрячь» нашу гибкую линейку. Тогда она изогнется, станет агрессивной. Это тоже сплайн, но не естественный, а более сложный – с принудительными касательными. На языке алгоритмов – с заданными производными в опорных точках.

Сплайн с принудительными касательными в опорных (узловых) точках. С его помощью можно получить напряженную, «агрессивную» линию

Разумеется, сплайны описаны математически и включены в «софт» для САПР. А набор (сетка) линий типа сплайна или кривых Безье в пространстве образуют так называемую порцию поверхности по Кунсу, а с ней и фрагмент кузова.

Набор (сетка) линий типа сплайна или кривых Безье в пространстве образует порцию поверхности по Кунсу, а с ней и фрагмент кузова

Тензор

Детали кузова надо отштамповать – значит, подвергнуть пластической деформации. А деформация – что это за величина? Скалярная, векторная? Многие отвечают – векторная, у нее же есть направление.

Не спешите говорить «векторная». Потому что она – тензорная. Это следующее, более сложное звено в цепочке «скаляр – вектор – тензор». Давайте по шагам, от простого к сложному:

• Скаляр – это один параметр, просто численное значение. Например, масса 5 кг.
• Вектор – два параметра, величина и направление. Например, сила 5 Н (ньютонов).
• А тензор – это что, три параметра?

Нет, физика не обязана быть линейной. Не три, а девять! Напряжения и деформации в точке описывается матрицей «три на три». То есть девятью параметрами – тремя нормалями и шестью касательными компонентами. И все они связаны между собой. Нельзя потянуть один «хвост» из девяти, чтобы не отреагировали остальные восемь.

Напряжение и деформация – это не скаляр и не вектор. Это более сложное понятие – тензор

Возьмите стальной стержень и растяните на разрывной машине. Сначала где-то в середине появится поясок, металл «потек». Поясок будет становиться тоньше, потом примет форму двух бутылочных горлышек, приставленных друг к другу. И наконец, лопнет. Здесь хорошо видно, что даже при одноосном растяжении возникают касательные напряжения и сдвиги. Так «течет» металл – сложно и капризно.

Разрыв стержня. Казалось бы, одноосное напряжение и деформация – все просто. На самом деле здесь участвуют напряжения и деформации по трем осям, а также их касательные составляющие. Описывается эта механика с помощью тензорного исчисления

Что же говорить о листовой штамповке? Таких капризных и непредсказуемых точек в крыле – сколько? И технологам надо сделать штамп, чтобы крыло сформировалось правильно, без перекосов, концентраций напряжений и надрывов.

Гармония описывается математически. И эти методы появились не сегодня

Так мы движемся от сплайнов, кривых Безье и порций поверхности по Кунсу через тензор к готовому изделию. И любуемся красивым и гармоничным автомобильным кузовом. И благодарим все предыдущие поколения ученых и инженеров.